par Claude Bruter

Hors série n° 23. Maths et arts plastiques Tangente

Avec la volonté du peintre de représenter l’espace, le lien entre l’art et la géométrie est pressenti depuis l’Antiquité. Ce lien devient éclatant à la Renaissance, avec l’invention de la perspective. Enfin, les progrès récents des mathématiques le renouvellent, comme en témoigne l’oeuvre du peintre Dick Termes.

ar l’intermédiaire des propriétés géométricophysiques de l’espace et des formes qui le peuplent, mathématiques et arts entretiennent un lien intime depuis des temps immémoriaux. Cette mosaïque trouvée à Pompéi dans la Maison du Faune représente une scène de la bataille d’Issos (en Cicilie, au nord d’Antioche et de la Syrie), opposant Alexandre le Grand au Roi des Rois Darius en 333 avant J.-C.. C’est une magnifique composition qu’on retrouve chez les peintres de la Renaissance comme chez David également, le peintre des armées napoléoniennes. Voyez la zone, réduisons-la à un point dit point de fuite, vers lequel convergent toutes ces lances. L’artiste a-t-il construit sa fresque d’instinct ou s’appuyait-il sur des règles définies par ses prédécesseurs, ou qu’il aurait lui-même établies ? En outre, Vitruve, architecte romain du premier siècle avant J.-C., nous révèle qu’Agarthaque, qui faisait les décors de théâtre des tragédies d’Eschyle, rédigea sur le sujet un traité qui inspira les mathématiciens Démocrite et Anaxagore. Malheureusement, les écrits de ces derniers ne nous sont pas parvenus mais on conjecture qu’ils contenaient les premiers éléments de la théorie de la perspective.

Dans la mosaïsque représentant la bataille d’Issos, trouvée dans la « Maison du faune » à Pompeï, l’artiste utilise déjà la perspective

Question de proportions

La perspective renaît avec le prodigieux développement de la peinture à la Renaissance : le Quattrocento italien, notre XV^e siècle, est celui de la redécouverte de la perspective linéaire, avec en tête de file en 1415 l’architecte Filippo Brunelleschi, bientôt suivi, entre autres, des Leo Battista Alberti (1404-1472), Piero della Francesca (1410 ?-1492), Leonardo da Vinci (1452-1519), Jean Pèlerin dit le Viator (1435 ?1524), Albert Dürer (1471-1528), et enfin de Girard Desargues (1591-1661) sur lequel nous reviendrons. Pour les besoins de leur art, les peintres de la Renaissance redécouvrent le procédé de la perspective linéaire et en analysent les propriétés géométriques. Bien que non formulée par eux en ces termes, une question essentielle pour les artistes est celle du respect des proportions entre objets situés à une distance donnée. Ce respect plus ou moins approché des proportions réelles est obtenu par la mise en place d’un maillage convenable du plan du tableau ; le maillage est défini par la don-née de rayons particuliers et de transversales à ces rayons. Joue alors un rôle fondamental le théorème de Thalès qu’ils connaissent, et qui définit l’invariant non moins fondamental de la géométrie euclidienne : une source lumineuse située à l’infini semble envoyer des rayons parallèles de sorte que le rapport des entre deux objets ou entre leurs ombres sur le sol grandeurs est le même :

BC B’C’

Géométrie projective

Un autre invariant de proportion fut découvert plus tard par encore l’architecte lyonnais Girard Desargues qui fonde, en 1639, la géométrie projective. La position de la source lumineuse fait la différence entre cette géométrie et la géométrie classique d’Euclide : dans cette dernière, comme on l’a déjà rappelé, le corps lumineux est situé à l’infini, de sorte que les rayons qui éclairent la scène sont tous parallèles ; en géométrie projective, la source lumineuse est présente à distance finie de sorte que les rayons lumineux sont disposés en éventail. Cette situation est conforme à l’observation d’un paysage face à soi, elle fait naître l’impression d’un éclairement par une source de lumière placée au fin fond du paysage, en son arrière-plan. L’emplacement S de cette source sur

Le portrait des époux Arnolfi

de Jan Van Eyck

La perspective linéaire impose une vision euclidienne de l’espace que l’on peut qualifier de plane. La représentation des images créées par les miroirs convexes, par les difficultés qu’elle soulève, n’a pas débouché sur une théorie mathématique particulière. De telles images apparaissent notamment dans le tableau célèbre de Jan Van Eyck (1385 ?-1441, Le portrait des époux Arnolfi). Le peintre Guillaume Postel (1510-1581) à la Renaissance est sans doute l’un des premiers à avoir pris pleinement conscience d’une certaine courbure de l’espace visible. Bien plus tard, Maurits Escher (1898-1972) reprend ce point de vue et développe dans ses oeuvres des représentations de l’espace faisant appel à plusieurs points de fuite.

L’avantage de considérer un tétraèdre régulier est qu’il est l’objet géométrique minimal symbolisant l’espace tridimensionnel. Mais le meilleur objet à prendre en compte c’est la sphère, l’objet de Platon le plus idéal, qui lui sera préférée à cause (entre autres) de sa parfaite régularité.

Si le tétraèdre est le plus simple des polytopes inscriptibles dans la sphère, le cube vient immédiatement après. Il peut être conçu comme le déploiement immédiat du tétraèdre, chaque arête du tétraèdre (il y en a six) donnant naissance à une face du cube. C’est ce cube qui a servi à Dick Termes d’outil principal pour élaborer sa technique. Il fait un premier tableau classique de ce qui se trouve face à lui, d’autres tableaux non moins classiques de qui se trouve à sa gauche, à sa droite, au dessus, en dessous, et derrière lui : ces six toiles assemblées forment un cube. Dans cette représentation, l’ego du peintre, comme le dit Escher (dont on devine l’influence sur Termes), est au centre du cube : l’artiste peint sur l’extérieur du cube ce qu’il voit depuis l’intérieur.

Chaque toile contient en son centre un point de fuite, le raccord entre les faces du cube est immédiat, les rayons joignant les points de fuite de deux faces adjacentes. Le passage du cube à la sphère est fort simple : il suffit de « souffler » à l’intérieur du cube et de le « gonfler » pour obtenir la sphère. Tout rayon rectiligne sur une face du cube est une géodésique de cette portion de plan, c’est-à-dire une ligne pour laquelle la distance entre deux points quelconques de la ligne est minimale. Sur la sphère, ces rayons sont également portés des géodésiques, en l’occurrence des grands cercles.

Pour en revenir au tétraèdre, une représentation de son environnement peut être établie à partir de seulement quatre points de fuite situés au centre de chaque face. Dick Termes est passé du cube à la sphère, puis en est venu à la représentation sur les polyèdres platoniciens pour laquelle il a maintenu l’appel à six points de fuite. Sur le tétraèdre, ces points se trouvent placés au milieu des arêtes.

Les proportions, encore...

La question de la conservation des proportions dans la représentation sur la sphère demeure. Notons qu’on peut songer à un théorème de Thalès pour la sphère. On peut l’obtenir en relevant sur celle-ci, par l’inverse de la projection stéréographique, la configuration plane de trois droites concourantes et de transversales à ces droites parallèles entre elles.

La projection stéréographique consiste à prendre l’image d’une sphère de pôle nord Z (le zénith) sur un plan équatorial ou qui lui est parallèle, en prenant simplement pour image d’un point P de la sphère l’intersection p du plan avec la droite passant par Z et P. Dans cette construction, les grands cercles tracés sur la sphère passant par Z deviennent des droites passant par le centre du plan équatorial ; le cercle situé à l’intersection de la sphère et d’un plan passant par Z devient une droite du plan. La propriété fondamentale de cette projection stéréographique est la conservation des angles : deux courbes tracées sur la sphère font entre elles le même angle que leurs images dans le plan. Par l’inverse de la projection stéréographique, les droites concourantes Di (i = 1, 2, 3), supposées être situées dans le plan équatorial de la sphère et passant par le centre du cercle équatorial, deviennent des grands cercles Ci de la sphère. Les transversales Tj parallèles entre elles deviennent des polygones curvilignes : ils forment les cercles gj passant par le pôle nord de la sphère ; ils sont tous tangents à une même droite T, ellemême tangente à la sphère en son pôle nord, et parallèle à la direction des transversales. Un cercle gj rencontre un cercle Ci au pôle nord et en un autre point Pji ; les trois points Pj1, Pj2, Pj3 sont donc situés sur le cercle gj situé dans un plan pj passant par la droite T. Par pivotement de ce plan autour de T, on peut passer de ce déterminent ces arcs de qui pivotement, lors que les cercle à un autre cercle gj ’ de cette famille. Le rapport entre les longueurs des arcs de cercle joignant Pj1à Pj2, et Pj2à Pj3 reste constant au cours de ce angles au centre cercle varient dans les mêmes proportions. Le phénomène est par exemple bien visible en présence d’une symétrie, lorsque la droite D2 est la bissectrice de l’angle formé par les deux autres droites. Le dessin de Termes s’apparente à cette inverse de la projection stéréographique au voisinage d’un point de fuite. Au fur et à mesure qu’on s’en éloigne, les distorsions s’amplifient. Un léger déplacement des points de fuite permet sans doute de les atténuer. Ces distorsions contribuent certes à fonder le caractère inhabituel de cette représentation ; elles nous donnent presque toujours l’impression d’observer un monde en mouvement ; et son étrangeté par endroit ne peut qu’éveiller la curiosité et susciter parfois l’étonnement.

En pratique, pour peindre ses sphères, Dick Termes dessine sur elles un réseau de grands cercles passant par trois couples de points de fuite. Représenter non point presque tout l’espace qui entoure l’artiste mais la totalité de cet espace, tel sera le projet de Dick Termes.

L’œuvre de cet artiste fécond traits) restera sans doute dans le monde symbolique de la représentation picturale comme l’un des jalons significatifs posé sur la longue route que suit l’humanité dans son appropriation de l’espace. Les œuvres de Dick Termes peuvent être admirées lors de l’exposition itinérante Mathématiques et Arts qui, après à l’Institut Henri Poincaré, devrait parcourir les grands musées et universités d’Europe (voir l’article sur ce sujet en page 20).