• Avant-propos

Le contenu des enseignements est, en général, d’une qualité technique remarquable. Il présente pourtant souvent, à mon sens, au moins deux faiblesses de conception, liées entre elles, et qui semblent s’être de plus en plus profondément ancrées au cours de ces deux derniers siècles. La première faiblesse vient de la présence excessive de l’abstraction au dépens du réalisme et du pragmatisme, et donc au dépens de la simplicité et de l’accès à une première compréhension immédiate. Cet enseignement s’accompagne par suite, et également, d’une forme de présentation autoritaire et d’assujettissement au dogmatisme qui détournent l’esprit de la réflexion sur les fondements des sciences. Une expérience de Maxwell en témoigne : l’appendice 1 la relate. De ces défauts résulte probablement, si l’on se place d’un point de vue global, qu’à partir des années 1840 environ, la science française par exemple s’est montrée finalement moins profondément créative que ses autres consœurs européennes : si Newton est anglais, la formation d’Einstein est allemande ; l’histoire ne manque pas de souligner l’étendue des discussions d’ordre philosophique que le jeune Einstein eut avec ses mentors et avec ses amis. Dans ces deux  écoles, la philosophie naturelle a toujours occupé une place à part entière, elle a contribué à rendre la pensée féconde, a servi de terreau fertile à l’éclosion des théories physiques modernes – théorie de la relativité, théorie quantique, théorie des cordes. En témoigne, par exemple, le nombre élevé d’articles très importants parus dans les journaux britanniques portant le terme philosophical dans leur titre, et l’on sait que l’ouvrage majeur de Newton s’intitule Philosophiae naturalis principia mathematica (1687). Certes, cette expression de philosophie naturelle concerne plus particulièrement le règne physique 1. Mais son acception est plus étendue, moins contraignante que le terme physique. Elle est une porte ouverte sur l’enrichissement et l’approfondissement du savoir.

La pratique de cette philosophie naturelle était également très présente chez nos savants du XVIIIe siècle : l’œuvre encyclopédique de d’Alembert et de Diderot en porte largement témoignage. Il convient assurément de la réintroduire dans la formation scientifique d’aujourd’hui. Sans doute, depuis toujours, ici ou là, divers auteurs contribuent à maintenir la vitalité locale de la philosophie naturelle. Mais leur voix est pratiquement sans effet. Seul un enseignement officiel plus largement répandu, consistant, pourrait conduire à des résultats bénéfiques.

Le contenu de cet opuscule introductif apporte une fort modeste contribution à la réalisation d’un tel projet. L’aspect conceptuel y est privilégié par rapport à tout autre. Un premier chapitre, court, insiste sur le poids du symbolisme dans notre relation avec le monde.

Le thème que je n’aborde pas est celui de la nature de l’espace, mais il est bien sûr présent en filigrane. L’énergie en est un attribut essentiel : un chapitre lui est consacré. L’historique de la notion s’étend jusqu’au moment où le terme s’impose, peu après 1852.

Le second concept abordé ici, aussi important que le précédent, est celui de stabilité. Energie et stabilité entretiennent des rapports étroits. Ces deux concepts jouent un rôle majeur dans la représentation et la compréhension des phénomènes.

L’ouvrage se conclut sur une présentation condensée de l’œuvre de Platon, où l’on voit apparaître, souvent encore en arrière-plan, les problématiques et les concepts fondamentaux de la science moderne, où l’on voit éclore les pratiques intellectuelles qui ont modelé son développement : une œuvre fondatrice et cruciale dans l’histoire de la pensée scientifique.

 C.P. BRUTER

Gometz-le-Chatel, ce 22 Janvier 2006

(revu ce 1er Juin)

A la recherche de la plus grande stabilité spatio-temporelle, les objets de la nature évoluent, s’efforçant de développer leurs facultés de sensation, de perception et de représentation de leur environnement, de mémorisation de ce qu’ils ont perçu, et d’analyse des représentations qu’ils ont forgées.

Rien n’est plus étonnant que l’imprégnation dans les esprits et l’efficacité opératoire du monde symbolique ainsi créé par l’homme, quel que soit l’objet de cette forme de représentation, qu’elle se rapporte aux composantes de l’univers physique, ou bien à celles des sociétés et des activités humaines. Dans toutes les activités de l’homme, le monde symbolique qu’il a édifié, le subjugue, le gouverne.

 Il est remarquable également que ce phénomène ait été si peu mis en exergue, si peu étudié. Les Anglais ont quelque peu flirté avec lui qui, au XIXe siècle, parlaient d’une « Algèbre symbolique ». Seul, à ma connaissance, et en se tenant au seul domaine de la physique, le grand épistémologue Pierre Duhem l’a évoqué en ces termes dans son livre La théorie physique, son objet sa structure [19]:

 Donc, lorsqu’un physicien fait une expérience, deux représentations bien distinctes de l’instrument sur lequel il opère occupent simultanément son esprit ; l’une est l’image de l’instrument concret qu’il manipule en réalité, l’autre est un type schématique du même instrument construit à l’aide de symboles fournies par les théories ; et c’est sur cet instrument idéal et symbolique qu’il raisonne, c’est à lui qu’il applique les lois et les formules de la Physique.

La mise en place de l’univers symbolique s’accomplit en deux grandes étapes. La première accompagne la gestation, souvent longue, des concepts. La seconde, plus brève, établit un symbolisme attaché à ces concepts, puis l’exploite.

Les racines de la première étape plongent dans le passé le plus lointain. Les écrits des Anciens révèlent parfois leur présence, souvent sous-jacente, encore masquée. Concepts encore très vagues, ils trouveront bien plus tard une manière d’incarnation en des formes et dans des situations précises. Une sorte de totipotence les caractérise, d’autant plus marquée qu’ils se veulent universels.

Dans le domaine de la connaissance scientifique du monde physique qui, principalement, nous occupera ici, deux concepts paraissent occuper une position dominante. Chacun d’eux est accompagné d’un petit cortège de concepts parents de grande qualité : ils dévoilent les facettes du concept fondateur ; ils le préfigurent souvent. Ils peuvent apparaître comme des spécialisations de ces concepts fondateurs.

Parmi ces derniers, l’énergie et la stabilité occupent une position centrale. Ils forment un couple inséparable. Si l’énergie semble se rapporter davantage à l’espace, à la matière, la stabilité paraît se rapporter plus au temps, à la durée. La stabilité possède la vertu d’être un principe dynamisant et organisateur. Platon, qui célébrait l’harmonie révélée par la proportion, aimait pratiquer ce type de formulation : la stabilité est à l’énergie ce que l’éthique est à la société.

L’énergie a beau être impalpable, le concept devient opératoire à travers les symbolismes qui le représentent. Un symbolisme peut avoir une signification globale, comme par exemple la lettre E. Il acquiert un statut local et précis lorsqu’il se différencie et prend la forme du nombre. Pas davantage que la force, cette « entéléchie » comme l’avait bien qualifiée Leibniz, personne n’a vu davantage cette entité abstraite qu’on appelle un nombre. On n’en connaît que des représentations, différentes selon les civilisations. L’important est la sémantique qui lui est attachée. Si l’on se place du point de vue de l’inanimé qui, naturellement, a été le premier à être pris en considération, un nombre est en premier lieu un indicateur de présence spatiale et donc d’existence, il peut aussi désigner la position au sein d’un ensemble susceptible d’être ordonné, il peut aussi représenter la quantité : il désigne alors une qualité présente. Si l’on se place du point de vue de l’animé, un point de vue loin d’être encore bien assimilé par la grande majorité, le nombre représente une transformation, d’abord spatiale comme une translation, ou plus généralement comme une rotation accompagnée d’une dilatation, en bref comme une similitude : le nombre représente alors une qualité potentielle. Ce double statut, présent et potentiel, figure dans l’énergie : trois siècles de réflexion et d’expérimentation seront nécessaires avant qu’on ne parvienne à le mettre en évidence.

C’est l’histoire de cette émergence que nous allons tout d’abord suivre dans les pages qui suivent. Dans ce texte, nous dirons peu des biographies des savants qui sont mentionnés ; on les trouvera facilement sur Internet.

L’énergie est une donnée invisible que possèderaient tous les objets, et dont les physiciens ont affirmé l’invariance. On suit dans ce chapitre l’évolution des intuitions, des idées, des observations et des réflexions qui ont conduit à préciser cette notion.

L’étude des transformations du monde physique a été le vecteur clé de ce processus. On a commencé par étudier les transformations les plus évidentes, celles liées au simple transport spatial des corps : les mouvements, leurs causes, ou au contraire ce qui assure l’absence de mouvement par l’équilibre, sont les sujets d’étude sur lesquels se pencheront, entre autres, Aristote dans l’antiquité, Archimède, Buridan, Oresme, Galilée, Huyghens, Newton, et Lagrange au dix-huitième siècle. On assiste, au cours des siècles, à la montée de la formalisation : du discours littéraire, on passe à la représentation géométrique, support actif du raisonnement, puis, dans les derniers temps, à la représentation symbolique dans laquelle l’outil mathématique employé est l’analyse, qui traduit la géométrie  dans le nombre.

A partir du dix-neuvième siècle, ce sont les transformations entre les différents modes d’expression du monde physique qui sont étudiées : on s’efforce de les représenter en faisant appel aux méthodes et avec les outils déjà éprouvés dans l’étude des déplacements des corps dans l’espace usuel. Les transformations de la chaleur en d’autres formes physiques ont tenu une grande place dans cette évolution.

Si, de tout temps, les hommes ont affirmé la pérennité globale de l’univers, c’est par l’étude locale des phénomènes de conservation qu’ils sont parvenus à démontrer ou à affirmer des énoncés généraux, parfois susceptibles d’une représentation mathématique précise. La conservation possible de l’impetus, de la quantité de mouvement, de l’énergie cinétique, du travail, de la puissance, qui sont des notions locales, définies et étudiées d’abord dans le cadre des déplacements spatiaux, débouche, autour des années 1840, sur la création d’une notion globale invariante, l’énergie.

Son expression sous la forme ramassée d’un lagrangien, ou de l’action associée à ce lagrangien, est une donnée première pour l’étude, la compréhension et la description du monde physique. Son extension opératoire dans les autres domaines de la science reste un souhait, largement partagé.

Nul ne peut définir de manière générale la notion d’énergie : le concept est devenu aujourd’hui totipotent, il se déploie et s’incarne en autant d’objets qu’il en existe dans la nature, en autant de types de forces que l’on en vient à postuler. N’entendons-nous pas parfois parler d’ « énergie psychique », d’« énergie mentale »? Apparue au XIXe siècle dans un contexte physique précis, la notion n’acquiert un statut proprement technique qu’à partir du moment où elle devient représentée par une expression mathématique acceptée comme valide par la communauté scientifique. Cette expression représente elle-même un nombre ou un ensemble numérique que l’expérience est, en principe, capable d’authentifier.

 Si l’on remonte aux Anciens, le terme de « principe » (αρχη), introduit par Anaximandre [1](611-547), et fort apprécié tant par Platon (427-347) que par son élève Aristote (384-322), est peut-être celui qui préfigure le mieux celui d’énergie dans la mesure où il désigne également parfois la matière dans laquelle l’énergie peut s’incarner.

Une autre notion proche sans doute de celle actuelle d’énergie est celle de substance (ουσια) au sens où Aristote l’entend :

Mais ce qui, plus que tout, est le caractère propre de la substance, c’est, semble-t-il bien, que tout en restant identique et numériquement une, elle est apte à recevoir les contraires.  (Organon, catégorie, 5) [4]

Et, en vérité, l’objet éternel de toutes les recherches, présentes et passées, le problème toujours en suspens : qu’est-ce que l’être ? revient à demander : qu’est-ce que la substance ? C’est cette substance, en effet, dont les philosophes affirment, les uns, l’unité, et les autres, la pluralité, cette pluralité étant conçue, tantôt limitée en nombre, et tantôt comme infinie. C’est pourquoi, pour nous aussi, l’objet principal, premier, unique pour ainsi dire, de notre étude, ce doit être la nature de l’être pris en ce sens.  (Méta., Z, I). [3]

Mais deux autres termes doivent également être retenus : celui de puissance (δυναμιζ) et celui d’énergie (ενεργεια), pouvant être associés, le premier davantage à des capacités potentielles, le second davantage à des capacités actantielles et actuelles de transformation.

Ce sont ces deux derniers  termes qui feront leur chemin dans l’esprit et dans le vocabulaire des physiciens.

 Les premières notions physiques dont on a conservé encore le sens et l’emploi sont celles de « force » et de « puissance », présentes dans les écrits Aristote (Phys., VIII, 10, 266). Mais pas davantage que l’énergie, nul n’a réussi à matérialiser la force ou la puissance.

On doit à Aristote et à Archimède (287-212) les premières analyses du mécanisme du levier. Toute la théorie de l’équilibre dans le monde physique est en germe dans leur étude. Elle sera présentée dans ses traits principaux au paragraphe II.2.2, lors de l’examen de la propriété fondamentale de l’énergie.

Le parallélogramme des forces n’apparaît timidement qu’en fin du seizième siècle et de manière claire au début du dix-huitième (voir le paragraphe II.2.2) ; on notera alors avec intérêt, dans le traité de Mécanique qui relève de l’école d’Aristote 2 , la présence du parallélogramme de composition des vites-ses (Mech.2. 848b 13-26) [32] – rappelons que pour Aristote la force était proportionnelle à la vitesse. Il convient peut-être ici de citer Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) qui, s’il commet une petite erreur historique qui n’est pas de sa responsabilité, apporte ces renseignements intéressants sur le devenir de la composition des vitesses – notons  que cette composition précède celle des forces qui n’apparaîtra qu’à la fin du XVIe siècle :

Sur l’art. 32. Le premier de tous les auteurs qui nous sont parvenus, qui se soit occupé de la composition des mouvements, c’est Archimède, quand il traite des spirales. Le premier qui s’en soit servi pour expliquer l’égalité de l’angle d’incidence avec l’angle de la réflexion, c’est Képler, dans ses Paralipomena optica, où il décompose le mouvement oblique en un mouvement perpendiculaire et en un mouvement parallèle. C’est lui que Descartes a suivi à cet égard, aussi bien ici que dans Dioptrique. Mais c’est Galilée qui, le premier, a montré l’ample usage qu’on peut faire de la composition des mouvements en physique et en mécanique.[42]

Jean de Buridan (1295-1360) et Nicolas Oresme (1320-1382) vont apporter des éléments phénoménologiques nouveaux, introduire des outils géométriques de représentation des mouvements qui permettront la mise en place de la mécanique analytique, quatre siècles plus tard.

Née dans les cercles scientifiques du XIV e siècle, la théorie de l’impetus sera précisée et fortifiée par Buridan :

je crois qu’au mobile, le moteur n’imprime pas seulement le mouvement, mais, par voie de conséquence, un certain impetus ou une certaine force (vis) ou une certaine qualité (le nom qu’on lui donne importe peu). Cet impetus a pour nature de mouvoir ce à quoi il est imprimé, de même que l’aimant imprime au fer une vertu qui meut le fer vers l’aimant.[20]

Il remarque aussitôt cette propriété de l’impetus : «  Plus le mouvement est vite, plus cet impetus se fait intense. » Par ailleurs «  plus un corps contient de matière, plus il peut recevoir de cet impetus, et plus grande est l’intensité avec laquelle il peut le recevoir. » Il faudra attendre trois siècles pour que Christiaan Huyghens (1629-1695), savant de tout premier plan, donne de ce concept la représentation mathématique adéquate.

Buridan réfléchit sur la manière de définir la quantité de matière que nous désignons par la masse, et aboutit à cette conclusion que Isaac Newton (1643-1727) exprimera de manière plus ramassée au début de ses Principia [48]:

La quantité de matière est la mesure de cette matière obtenue en multipliant la densité par le volume. …C’est cette quantité qu’en ce qui va suivre, je désignerai parfois sous les noms de corps et de masse. 

Galileo Galilei (1564-1642), Galilée pour les intimes, un des grands penseurs de la physique, humble devant l’expérience qu’il pratique autant que faire se peut,  appellera l’impetus « impeto ». René Descartes (1596-1650) lui donnera le nom de quantité de mouvement. C’est Huyghens donc qui introduira, sous la forme mv, la représentation mathématique de cette quantité de mouvement qu’en hommage à Descartes il nomme motus quantitas.

Il convient ici d’introduire une parenthèse sur la représentation géométrique dont l’importance est cruciale. On doit à Nicolas Oresme les introductions de la représentation dite cartésienne et de la géométrie analytique afin de représenter par ce biais, et de manière précise, les qualités, les propriétés des objets :

toute chose mesurable doit être imaginée à la manière d’une quantité continue…., toute intensité susceptible d’être acquise d’une manière successive doit être imaginée au moyen d’un ligne droite élevée verticalement  à partir de chaque point de l’espace ou du sujet qu’affecte cette intensité.  … La mesure des intensités peut donc être convenablement imaginée comme la mesure des lignes… Et cette représentation s’étend, d’une manière universelle, à toute intensité imaginable, qu’il s’agisse de l’intensité d’une qualité active ou d’une qualité non active, que le sujet ou l’objet affecté tombe ou ne tombe pas sous les sens …Toute qualité linéaire est figurée à la manière d’une surface dressée verticalement sur la ligne sujette [à la qualité]. Soit donc AB la ligne qui est informée par la qualité… L’altitude de cette surface représente l’intensité de la qualité.[20]

Cet énoncé est tout à fait remarquable : il révèle qu’Oresme avait en tête la notion de ce que les mathématiciens appellent un espace fibré, une notion géométrique essentielle : elle sera définie en 1941 3 par Charles Ehreshmann (1905-1979).

Les coordonnées cartésiennes, abscisses, ordonnées, ont été introduites par Oresme sous les noms de longitudino et de latitudino :

Et de même qu’en général la ligne qui représente la longueur de la surface d’un corps et la ligne qui en représente la largeur se coupent à angle droit, de même l’extension de la qualité, qu’on doit nommer sa latitude, se devra imaginer perpendiculairement à la ligne de longitude de la même qualité… [20]

Plus généralement, Nicolas Oresme conçoit également des représentations multidimensionnelles. Il a employé celle à deux dimensions pour comprendre le mouvement uniformément varié.

Probablement, la notion d’accélération était présente dans l’esprit de ses prédécesseurs comme par exemple Guillaume d’Ocagne (1300-1349) ; Oresme la formule en tout cas avec clarté :

toute vitesse est susceptible de devenir plus intense ou de s’atténuer ; ce par quoi elle devient continuellement plus intense se nomme accélération (velocitatio) …[elle] se produit tantôt d’une manière uniforme, tantôt d’une manière difforme, et ceci de diverses façons. [20]

Déjà connu en son temps dans un cas particulier, Oresme donne une démonstration géométrique claire de l’énoncé suivant qui sera retrouvé par Galilée – la formulation est ici celle de Pierre Duhem [20] :

lorsqu’un mobile se meut, pendant un certain temps, d’un mouvement uniformément varié, le chemin qu’il parcourt est égal à celui qu’il parcourrait en un mouvement uniforme, de même durée, dont la vitesse serait égale à celle qui est prise en l’instant moyen du premier mouvement.

Oresme d’ailleurs à un moment s’exprime ainsi :

Il est donc évident qu’une qualité ou une vitesse uniformément difforme quelconque se trouve égalée à une qualité ou à une vitesse uniforme.

Les mathématiciens rapprocheront ces énoncés de celui du théorème dit « des accroissements finis » ou encore « de la moyenne », énoncé près de quatre cent cinquante années plus tard 4.

Il convient d’insister sur le rôle tenu par la géométrie euclidienne comme outil symbolique de représentation des données spatio-temporelles et des qualités des objets. Jusqu’à Newton, Leibniz et Jean Bernoulli, en passant par Oresme, Albert de Saxe (XIVe siècle sans autre précision actuelle), Galilée, Simon Stevin, Pierre Simon de Fermat (1601-1665), Huyghens, elle sert de support à la construction de schémas, de dessins permettant de donner des explications détaillées, présentées sous la forme de démonstrations, des faits, des comportements, des évolutions. Les théorèmes de Pythagore et de Thalès standard sont pratiquement les seules propriétés employées pour aboutir aux conclusions, souvent obtenues à la suite d’analyses fouillées.

Huyghens, comme on l’a déjà annoncé, traduit en termes mathématiques, de la manière la plus simple qui soit, sous la forme mv, la quantité de mouvement ou impulsion dont Buridan avait énoncé les propriétés phénoménologiques. Mais il fait bien davantage en introduisant, dans les années 1650, par le procédé géométrique il faut le rappeler, la quantité mv² à laquelle il ne donne pas de nom spécifique ; il lui arrive d’utiliser l’expression « vis motus » pour la nommer. Le premier article, posthume (publié en 1703), où apparaît cette découverte a été rédigé vers 1652 ; il porte le titre de De Motu corporum ex percussione 5 [34]. L’influence de l’ouvrage de Galilée, Discorsi e Dimostarzioni matematiche intorno à due nuoue Scienze attenenti alla Mecanica & i Movimenti Locali [26], publié à Leyde en 1638, tant dans le sujet que traite le hollandais Huyghens, que dans ses démonstrations, est manifeste – Galilée s’y intéresse à la question du choc entre deux projectiles (cf la citation qui sera donnée plus loin), et y démontre notamment le fait que, dans la chute d’un corps, la distance parcourue est proportionnelle au carré du temps mis à la parcourir.

Seul au début, le terme « potentia » employé par Leibniz se réfère à cette quantité mv². L’expression « vis viva », « force vive », qu’il introduit par ailleurs avec un sens différent, après discussions entre Leibniz et les Cartésiens, sera cependant bientôt employée pour la désigner 6. Le coefficient ½  qui, en général, précède aujourd’hui mv², a été utilisé de manière systématique par le mécanicien Gaspard-Gustave Coriolis (1792-1843) en 1829, mais on le rencontre auparavant dans le traité de Mécanique Analytique [39]  (1788) de Lagrange (1736-1813) (à la page 337 :

Au moins jusqu’au milieu du XIXe  siècle, si ce n’est encore aujourd’hui, on continuera à appeler « force vive » la quantité mv². L’appellation d’énergie cinétique lui sera ensuite donnée par William Thomson, futur Lord Kelvin of Largs (1824-1907), et Peter Guthrie Tait (1831-1901), auteur avec Thomson du fameux Treatise on Natural Philosophy (Cambridge, 1879) [58], en fait, un beau traité de mécanique générale.

L’emploi du terme « énergie » dans un sens physique précis figure, pour la première fois peut-être, en 1717 sous la plume de Jean Bernoulli (1667-1748), dans une lettre à Varignon (1654-1722) [7]:

F>Cp fait ce que j’appelle l’énergie

L’énergie, en ce sens, de Bernoulli évalue en fait le travail de la force F – ce terme travail sera introduit en 1828 par Coriolis – le travail est à ses yeux le concept fondamental ; Coriolis sera suivi un moment dans cette voie par le mathématicien Victor Poncelet (1788-1867). Notons que le travail est bien une forme de l’énergie : il en est une forme locale, au sens où la différentielle d’une fonction est une forme locale de cette fonction.

L’emploi du terme énergie sera long à s’implanter, à s’imposer. Ainsi, il n’apparaît qu’une seule fois dans le traité précité Lagrange, près de 70 années donc après Bernoulli, et dans un sens encore non précis ; dans l’introduction, p.20, Lagrange écrit :

Galilée entend par moment d’un poids ou d’une puissance appliquée à une machine l’effort, l’action, l’énergie, l’impetus de cette puissance… .[39]

Dans ces lignes, Lagrange reprend les termes de celles écrites par Galilée dans l’article 217 de ses Discorsi précités:

Et puisque nous reconnaissons que l’impetus, l’énergie, le moment ou la tendance au mouvement d’un corps mobile est aussi grande que la force ou la résistance minimale suffisante pour l’arrêter …

Dans la suite de son texte, Galilée emploie à nouveau et à plusieurs reprises le terme energia,  par exemple lorsqu’il écrit:

"Pour déterminer la force et l’énergie du choc [forza ed energia della percossa] …

Le physicien anglais Thomas Young (1773-1829), dans son traité de philosophie naturelle, emploiera également le terme d’énergie pour désigner la force vive : peut-être a-t-il lu Galilée et Lagrange ? Il serait bien sûr étonnant qu’il ne l’ait point fait. Les britanniques feront parfois référence à Young comme étant le premier qui, à leurs yeux, aurait employé le terme « énergie » …

Pierre Simon de Laplace (1749-1827) introduit en 1785 7   le concept de potentiel ; il est précisé par le « prince des mathématiques », Carl Friedrich Gauss (1777-1855), dans sa Théorie générale du magnétisme terrestre (1839) [28]. Gauss, également astronome, aura travaillé sur l’électromagnétisme avec le physicien Wilhelm Weber (1804-1891) 8 . Bien qu’il note également par V la fonction potentiel, il est peu probable qu’il ait eu connaissance de l’essai [32] de l’étonnant George Green (1793-1841), fils de boulanger et autodidacte : en 1846, W. Thomson fera réimprimer cet essai, d’abord publié à compte d’auteur en 1828. Partant notamment des travaux de Poisson en électricité et en magnétisme, Green y présente notamment son important théorème, et y définit en toute clarté le terme potentiel et les propriétés des fonctions potentielles :

It is well known, that nearly all the attractive and repulsive forces existing in nature are such, that if we consider any material point p, the effect, in a given direction, of all the forces acting upon that point, arising from any system of bodies S under consideration, will be expressed by a partial differential of a certain function of the co-ordinates which serve to define the point’s position in space. The consideration of this function is a great importance in many inquiries, and probably there are none in which its utility is more marked that in those about to engage our attention. In the sequel we shall often have occasion to speak of this function, and will therefore, for abridgment, call it the potential function of the system S.

Cependant, au temps où Green et Gauss publient leurs travaux, on n’emploie toujours pas le terme énergie. Mais l’heure approche.

Le terme énergie n’apparaît pas semble-t-il dans les traités de physique jusqu’au milieu du XIXe siècle. Ainsi, par exemple, le traité fondateur 9   de Sadi Carnot (1796-1832) portant sur les machines à vapeur 10  [16], paru en 1824, utilise la terminologie de « puissance motrice ».

 Cependant, dès la fin du XVIIIe siècle, les progrès dans l’observation et dans l’expérimentation permettent de mettre en évidence de très nombreux échanges et transformations entre les diverses expressions des mondes chimique et physique ; le travail de Sadi Carnot qui vient d’être mentionné, où est établie la liaison entre le « calorique » et la « puissance motrice », en est l’une des illustrations. Carnot est peut-être le premier à avoir compris et formulé le principe de conservation de l’énergie : je renvoie sur ce point à la citation de Poincaré donnée l’Appendice I.5 et qui le concerne.

 Cette question de la transformation du « calorique » en puissance mécanique ou autre va notamment occuper une place très importante dans l’esprit des physiciens à partir des années 1840.

 En particulier, James Prescott Joule (1818–1889) met en évidence en 1841 l’effet thermoélectrique qui porte son nom, et, en 1842 [36], vérifie par l’expérience, tout comme Robert Mayer, la conservation de l'énergie et l'équivalence entre énergie mécanique et énergie thermique 11. Mais ce seront d’abord les chercheurs qui s’intéressent également au vivant, qu’ils aient donc reçu une formation supplémentaire en médecine ou en physiologie, qui , parmi les premiers, ressentent la nécessité de parvenir à établir des synthèses conceptuelles permettant d’unifier les nombreux et divers phénomènes physiques et physico-chimiques.

Toute une génération de ces savants, le plus âgé est né en 1814, le plus jeune en 1824, va concourir à introduire et à développer le concept d’énergie. Les principaux acteurs de cette saga se nomment : Julius Robert von Mayer (1814-1878), James Prescott Joule, William Rankine (1820-1872), Hermann von Helmholtz (1821-1894), Rudolf Clausius (1822-1888), et William Thomson. Le physicien et mathématicien américain Josiah Willard Gibbs (1839-1903) a été en partie formé par l’école précédente.

Mayer, Helmholtz et Clausius sont allemands, Joule, Rankine et Thomson britanniques. Ils sont tous physiciens, mais la formation première de Mayer et de Helmholtz est en médecine et en physiologie.

L’influence d’Emmanuel Kant (1724-1804), à travers ses Premiers principes métaphysiques de la science de la nature (1786), est  présente dans ces travaux : Helmholtz le cite en note dans l’édition de 1881 de son texte fondateur. Kant, s’appuyant en partie sur les travaux des mécaniciens de son temps, tente d’établir les bases phénoménologiques des sciences de la nature. L’époque est à l’étude du mouvement mécanique : c’est plus généralement par le mouvement qu’il entend fonder sa vision du monde. Mais Kant connaît aussi les Anciens, l’œuvre des mathématiciens et des philosophes de son temps. La substance dont il parle n’est pas sans rappeler celle d’Aristote. Et pour Leibniz qui précède Kant, la notion de force est primordiale ; Leibniz s’exprime ainsi dans le Specimen Dynamicum :

J’ai suggéré ailleurs que les choses corporelles contiennent quelque chose d’autre que leur extension, en vérité quelque chose d’antérieur avant l’extension, à savoir la force de la nature implantée en toute chose par le Créateur.[43]

Chez Kant également, la notion de  force est très présente. Kant les classe soit en forces d’attraction ou de répulsion, l’amour et la haine d’Héraclite, soit en forces vives et « forces mortes » 12 . Ce faisant, il ne fait encore que reprendre la distinction et la terminologie de Leibniz. Kant insiste par ailleurs sur son théorème IV, « la loi mécanique de l’égalité de l’action et de la réaction », empruntée par exemple à Newton.

La notion de force est donc très présente dans l’esprit des philosophes et savants du XVIIIe siècle. Citons encore par exemple également ce texte de Georges-Louis Leclerc, comte de Buffon (1707-1788), dont on admirera l’ampleur de la prescience:

Les vrais ressorts de notre organisation ne sont pas ces muscles, ces veines, ces artères, ces nerfs, que l’on décrit avec tant d’exactitude et de soin ; il existe, comme nous l’avons dit, des forces intérieures dans les corps organisés, qui ne suivent point du tout les lois de la mécanique grossière que nous avons imaginée, et à laquelle nous voudrions tout réduire : au lieu de connaître ces forces par leurs effets, on a tâché d’en écarter jusqu’à l’idée ; on a voulu les bannir de la philosophie : elles ont reparu cependant, et avec plus d’éclat que jamais, dans la gravitation, dans les affinités chimiques, dans les phénomènes de l’électricité…[14]

De manière apparemment indépendante, plusieurs auteurs simultanément, Mayer et Helmholtz en particulier, vont développer des idées, des théories qui vont avoir un impact profond sur le développement de la physique. Ils n’utilisent encore que le terme de « kraft », de « force », dans un sens très général, à la manière de Leibniz, Kant ou Buffon. Notons que ce terme « kraft », souvent correspond davantage à celui de puissance ou d’énergie.

Le texte de Mayer date de 1841 ; il s’intitule, dans sa traduction française, Sur la détermination quantitative et qualitative des forces [46]. Remplaçons force par énergie ; Mayer, d’inspiration vitaliste, y présente la loi de conservation de l’énergie. Le médecin puis chimiste Wilhelm Ostwald (1853-1932), dans son ouvrage sur l’énergie [49], commente ainsi l’apport de Mayer:

Ce qui, dans l’œuvre de Mayer, est le plus important du point de vue de l’étude d’ensemble que nous faisons ici, c’est qu’il conçoit les forces, c’est-à-dire, dans notre langage, l’énergie, comme une substance. La force est pour lui une réalité, un être d’une espèce déterminée et particulière ; son indestructibilité et son incréabilité sont des marques de sa réalité.

Le premier historique de la notion d’énergie a été présenté par Tait au cours de conférences faites en 1876 et traduites en français en 1886 [55]. Cet historique porte presque exclusivement sur la première moitié du XIXe siècle ; Tait n’y ménage pas ses critiques à l’égard de Mayer. Il mentionne par ailleurs deux autres auteurs, qui, toujours dans les années 1840, n’ont pas eu la même audience que Mayer ou Helmholtz. Il s’agit d’une part de Karl Friedrich Mohr (1806-1879): son « mémoire date de 1837 – cinq ans avant le travail de Mayer – et il contient tout ce que celui de Mayer offre d’exact, mais présenté sous une forme bien supérieure », écrit Tait. Le second auteur est le danois Ludwig A. Colding (1815-1888) : il avait l’idée du principe de conservation dont d’ailleurs il fit part au physicien Hans Christian Oersted (1777-1851), et auquel il s’employa à  donner un contenu expérimental solide. « Ceci montre, qu’au moins jusqu’à un certain point, il avait anticipé sur Helmholtz, dont je vais maintenant faire connaître les grands services rendus à cette branche de la science » écrit à nouveau Tait.

C’est en effet le texte de Helmholtz, Ueber die Erhaltung der Kraft (1847) [33], traduit en français par Pérard sous le titre de : Mémoire sur la conservation de la force (1869), qui aura une grande audience, auprès des britanniques notamment. D’une grande culture, influencé tant par Kant que sans doute par Leibniz et Lagrange, Helmholtz, s’emploie à fonder une théorie phénoménologique et mécaniste des phénomènes physiques, à l’intérieur de laquelle s’inscrirait la physiologie. Le terme « force » est pris, comme chez les auteurs précités, dans un sens physique général et dans une optique d’unification des sciences. Helmholtz refuse le vitalisme. Il s’intéresse notamment, dans ses débuts, à la production de la chaleur musculaire dans le corps, et vise à établir une théorie physico-chimique, étayée par une mathématique rigoureuse, décrivant les phénomènes qui apparaissent. Mais c’est un cadre général qu’il souhaite établir, capable en premier lieu de rendre compte des phénomènes du monde physique :

la tâche des sciences physiques consiste donc finalement à ramener les phénomènes de la nature à des forces invariables, attractives et répulsives, dont l’intensité dépend de la distance.

Il reprend la notion de « force morte » de Leibniz puis de Kant, sous le nom de « force de tension » :

Appelons forces de tension les forces qui tendent à mouvoir le point m, tant qu’elles n’ont pas encore produit le mouvement, par opposition à ce que la mécanique appelle force vive.

Ces forces ont donc une nature potentielle, ce que justifie l’adjectif « potentielle » proposé plus tard par Rankine pour nommer l’énergie correspondante 13.

On notera par ailleurs ici l’absence, en ces temps, de consensus terminologique concernant le terme force, employé parfois dans son sens actuel, parfois avec la signification d’une impulsion ou quantité de mouvement (on dit aussi parfois aujourd’hui impulsion) mv : Laplace n’écrit-il pas dans son Exposition du Système du Monde 14 [40] (la première édition date de 1796) que :

la force est le produit de la masse d’un point matériel, par la vitesse qu’elle lui ferait prendre, s’il était libre.  (p.186)

Ajoutons l’emploi du terme force vive pour désigner mv² . On conçoit que Mayer et Helmholtz aient pu songer à employer ce terme de force dans un sens beaucoup plus général, pour désigner une notion physique capable d’ubiquité, dotée d’aussi belles propriétés que celles du caméléon : la force peut changer d’apparence, elle peut revêtir l’habit électrique, magnétique, mécanique ou chimique sous mille formes. Elle peut se diluer en chaleur, et inversement, parvenir en partie à reprendre l’une des incarnations précédentes. L’étude de ces transformations sera l’un des principaux sujets de recherches des physiciens du XIXe siècle, conduisant à la mise en place de la thermodynamique. Il n’est pas impossible que les conceptions de Straton, le possible auteur du traité aristotélicien de mécanique, aient préfiguré celles de nos physiciens allemands.

 Mais, en définitive, c’est Thomson, aidé par Rankine, qui, indépendam-ment de ses collègues allemands, l’emportera, choisissant à juste titre un autre terme, celui d’énergie.

Les premiers travaux de Thomson, nommé à 22 ans professeur à l’Université de Glasgow, sont de nature mathématique, quoique relatifs à la physique mathématique (les premiers travaux portent sur les séries de Fourier et l’étude de la conduction de la chaleur) 15 ou à la géométrie différentielle 16. Dès cette première époque, Thomson étudie en particulier la théorie de Carnot 17, et consacre plusieurs mémoires On the dynamical theory of heat , publiés par les Transactions of the Royal Society of Edinburgh. Le cinquième, lu le 15 décembre 1851 et qui paraît en 1852, est intitulé : On the Quantities of Mechanical Energy contained in a Fluid in Different States, as to Temperature and Density  [57]. C’est l’article fondateur.

Il y fait l’éloge du riche traité d’Helmholtz dans une note rajoutée au texte original de cet article :

si je l’avais connu à l’époque, j’aurais eu l’occasion de m’y référer sur ce point [l’effet Peltier] et sur de nombreux autres points de la théorie dynamique de la chaleur, la théorie mécanique de l’électrolyse, la théorie de l’induction électromagnétique, et la théorie mécanique des courants thermoélectriques.

Helmholtz, de son côté,  présentera l’article de Thomson en ces termes :

[il y] développe les relations mutuelles entre le volume, la température, la pression, la chaleur spécifique et la quantité de travail moléculaire (énergie mécanique) … L’ «énergie mécanique » est en substance cela même que l’on nommait antérieurement la quantité de chaleur (libre et latente) contenue dans le corps, ou son équivalent mécanique …

L’influence de Carnot est très présente ; elle transparaît dans l’explication précise donnée par Thomson de ce qu’il qualifie lui-même d’ « unqualified term, mechanical energy »:

« l’énergie mécanique d’un corps dans un état donné » dénotera la valeur mécanique des effets que le corps produirait en passant, de l’état où il se trouve, à l’état standard, ou encore la valeur mécanique de l’action totale qui serait requise pour amener le corps, de l’état standard, à l’état où il se trouve.

Ainsi, comme chez Carnot, la valeur de cette énergie ne dépend que de l’état initial et de l’état final du système.

Tenant compte du phénomène de dissipation possible et fréquent de l’énergie mécanique par émission de chaleur, Thomson élargit la même année sa conception en supprimant l’adjectif mécanique, ne conservant que le terme énergie. 

Entre en scène, maintenant, Rankine, grand ingénieur mais aussi, en tant que physicien, l’un des principaux fondateurs de la thermodynamique. Toujours en 1852, il lit, devant la British Association of Belfast, un premier texte, court, ignoré apparemment des cosmologistes contemporains, mais qui pourrait en étonner quelques-uns. Il a pour titre On the reconstruction of the mechanical energy of the universe [52], et a été publié dans le Philosophical Magazine de la même année. Je ne résiste pas au plaisir de citer les deux premiers et les deux derniers  paragraphes de ce texte dans sa langue originale.

The following remarks have been suggested by a paper by Professor William Thomson of Glasgow, on the tendency which exists in nature to the dissipation of indefinite diffusion of mechanical energy originally collected in stores of power.

The experimental evidence is every day accumulating, of a law which has long been conjectured to exist, – that the different kinds of physical energy in the universe are mutually convertible; that the total amount of physical energy, whether in the form of visible motion and mechanical power, or of heat, light, magnetism, electricity, or chemical agency, or in other forms not yet understood, is unchangeable ; the transformations of the different portions from one of those forms of power into another, and their transference from one portion of matter to another, constituting the phenomena which are the objects of experimental physics.

Thus it appears, that although, from what we can see of the known world, its condition seems to tend continually towards the equable diffusion, in the form of radiant heat, of all physical energy, the extinction of the stars, and the cessation of all phenomena; yet the world, as now created, may possibly provided within itself with the means of reconcentrating its physical energies, and renewing its activity and life.

For aught we know, these opposite processes may go on together; and some of the luminous objects which we see in distant regions of space may be, not stars, but foci in the interstellar ether. 

Il poursuit ses réflexions sur l’énergie, et lit un an plus tard, devant la Philosophical Society de Glasgow, un texte intitulé On the General Law of the Transformation of Energy [53]. Ce texte commence ainsi :

ACTUAL, or SENSIBLE ENERGY is a measurable, transmissible, and transformable condition, whose presence causes a substance to tend to change its state in one or more respects. By the occurrence of such changes, actual energy disappears, and is replaced by

POTENTIAL or LATENT ENERGY; which is measured by the product of a change of state into the resistance against which that change is made.

Selon Helmholtz qui rend compte de cet article :

Ces deux dernières définitions sont quelque peu obscures, parce que M. Rankine a voulu éviter là toute hypothèse sur la nature de la force agissante. Au demeurant, les expressions appropriées ont été choisies. Elles concordent avec celles que le rapporteur a antérieurement désignées par force vive (énergie actuelle), et quantité des forces de tension (énergie potentielle).

Rankine reprend et approfondit ses idées dans un texte remarquable lu devant la même société en 1855. Il est intitulé Outlines of the Science of Energetics [54]. Dans les articles courts et très solides I à VI de ce texte, à mettre entre les mains de tous les étudiants tout comme l’ouvrage précité de Duhem [19], Rankine définit notamment en toute clarté ce qu’est une théorie physique. Voici les titres de ces articles :

Section I. – What constitutes a Physical Theory.

Section II. – The Abstractive Method of forming a Physical Theory distinguished from the Hypothetical Method.

Section III. – The Science of Mechanics considered as an Illustration of the Abstractive Method.

Section IV. – Mechanical Hypotheses in Various Branches of Physics.

Section VI. – Advantages and Disadvantages of Hypothetical Theories.

La suite du texte s’applique à définir de manière axiomatique une science de l’énergétique, et donc en premier lieu les termes de cette science, termes sur lesquels on pourrait réfléchir à nouveau. Les voici selon Rankine :

Substance. Property. Mass. Accident. Effort, or Active Accident (The term « effort » will be applied to every cause which varies, or tends to vary, an accident. This term, therefore, comprehends not merely forces or pressures, to which it is usually applied, but all causes of variation in the condition of substances.). Passive Accident.  Radical Accident. Effort as a Measure of mass. Work. Energy, Actual and Potential (The term “energy” comprehends every state of a substance which constitutes a capacity for performing a work.)

Rankine propose ensuite quelques axiomes, et en déduit quelques propriétés essentielles. Et voici le contenu de la section XX, ses Concluding Remarks :

It is to be observed, that the preceding articles are not the results of a new and hitherto untried speculation, but are the generalised expression of a method of reasoning which has already been applied with success to special branches of physics.

In this brief essay, it has not been attempted to do more than to give an outline of some of the more obvious principles of the science of energetics, or the abstract theory of physical phenomena in general; a science to which the maxim, true of all science, is specially applicable – that its subjects are boundless, and that they never can, by human labours, be exhausted, nor the science brought to perfection.

On appréciera, au regard de l’histoire, la largeur de vue de Rankine, son ouverture d’esprit.

La vision globale et générale que partagent Thomson et Rankine s’impose dans le milieu des physiciens. Leur terminologie facilite les tentatives d’extension de leurs concepts à des domaines d’étude autres que ceux qui relèvent de la seule physique.

On assiste alors en ces années, en gros, et en particulier de 1850 à 1870, à la naissance de la thermodynamique, en même temps qu’on essaie de préciser ce que pourrait être une notion d’énergie propre à chaque objet physique et qu’on appellera son énergie interne U (l’objet est vu comme une réunion de particules possédant chacune une énergie cinétique propre et une énergie d’interaction avec ses voisines). Gibbs introduit en 1873 la notion d’énergie utilisable (available energy) 18 ; Helmholtz donnera le nom d’énergie libre à une expression voisine ; elle porte aujourd’hui également et parfois les noms d’enthalpie libre ou de potentiel de Gibbs 19.

Wilhelm Ostwald en particulier, que nous avons déjà rencontré, prix Nobel de chimie en 1909, bien au courant des développements de la physico-chimie, placé au contact d’autres disciplines, éprouve la nécessité de donner une emprise plus vaste au terme énergie ; dans son volume intitulé Energie [49], il prend en considération les notions d’ « énergie psychique » et d’ « énergie sociologique ». Mais le caractère global du concept d’énergie, la prodigieuse richesse et subtilité des interactions, n’ont pas encore permis de dégager un formalisme précis qui permettrait de mettre en avant un emploi très efficace de ce concept. Il n’en reste pas moins que l’objectif de la science étant l’universel, sont à prendre en considération bienveillante toutes les notions et tous les actes de pensée qui vont dans cette direction.

On notera que, s’il existe une définition de l’énergie interne physique, on ne trouve pas de manière explicite la définition correspondante de ce que pourrait être une énergie externe. Sans doute faut-il la concevoir comme l’énergie apportée par l’environnement à l’objet, énergie qui peut le mettre en mouvement, l’enrichir en quelque façon. Quant à cette énergie interne, elle ne concerne encore que des milieux et des quantités physiques, comme par exemple une agitation interne à la Bolztman (1844-1906) induisant une température locale. Or, de manière plus générale, l’énergie interne est notamment liée à la constitution de l’objet à travers ses composants et leur activité réciproque, à travers sa structure, et qui déterminent en partie ses capacités fonctionnelles ; elle dépend aussi des capacités mnémoniques de l’objet, de la connaissance qu’il a de son entourage, des représentations qu’il a établies. Aussi, lorsqu’on envisage le cas d’un objet en général, le travail à accomplir pour donner une forme opératoire précise au concept d’énergie paraît sans limite. On ne saurait, pour cette raison, se décourager et ne rien entreprendre.

II.2 Une propriété essentielle de l’énergie physique : l’invariance 

II.2.1 La conception des Anciens : une vision globale et immuable

Depuis la plus haute antiquité, règne dans l’esprit des physiciens la notion la plus extrême de stabilité, celle d’éternité, de conservation absolue. Les hommes avaient alors sous les yeux un ciel, des sociétés, un monde qui paraissaient immuables. Ils exprimaient leur intuition de la pérennité de manière symbolique, à travers les attributs invariables de leurs dieux 20.

Les conceptions de la physique reposent sur deux socles conceptuels, formant un couple inséparable, l’un de caractère local, l’autre de caractère global et entre lesquels doit exister, en arrière-plan, une sorte de dualité à faire surgir : le premier, représenté par Démocrite, met en avant une description atomiste, analytique de l’univers ; le second, représenté par Anaximandre, le disciple et successeur de Thalès qui, selon Théophraste (Opinions des Physiciens)[1], aurait introduit la notion et le terme de principe, se rapporte à un corps de doctrines sur le fonctionnement global de l’univers.

C’est ainsi que Platon s’inspirant sans doute d’Anaximandre, crée un ensemble de principes abstraits qui modèlent le monde, et qui, par nature, sont immuables. Il s’exprime là-dessus dans le Timée, avec plus de clarté peut-être dans Phèdre (245 d-e) (28) :

 … un principe ne provient de rien … . Puisque, d’autre part, ce principe est quelque chose d’inengendré, il est forcément aussi quelque chose d’incorruptible … . Ainsi donc, si ce qui se meut soi-même est principe de mouvement, il n’est pas possible, ni que cela s’anéantisse, ni que cela commence d’exister, sinon ce serait un affaissement du ciel tout entier, de la génération toute entière … . Or, à présent qu’a été expliquée l’immortalité de ce qui se meut par soi, personne n’hésitera à dire que là est la réalité de l’âme, que cette notion même est la notion de l’âme. Tout corps, en effet, auquel il appartient d’être mû du dehors, est un corps inanimé, tandis que celui auquel il appartient d’être mû par lui-même et du dedans, est un corps animé. Mais, si c’est bien ainsi qu’il en est et que ce qui se meut soi-même ne soit autre chose que l’âme, alors, nécessairement, l’âme doit être quelque chose d’inengendré, aussi bien que d’immortel. [50]

La démonstration est spécieuse puisqu’elle fait appel à un principe impalpable, créé de toute pièce, et par nature invariable. Cela dit, on appréciera la prudence de Platon, les réserves qu’il introduit dans la fin de son exposition : « Mais, si c’est bien ainsi qu’il en est … ». A travers la mise en forme des propriétés de la fonction d’énergie physique, nous allons retrouver cette intuition ou cette conviction d’une pérennité pour le moins apparente, qu’exprimeront au cours des âges des physiciens aussi divers qu’Héraclite (576 – 480) [1]: Ce monde-ci, le même pour tous, nul des dieux ni des hommes ne l’a fait. Mais il était toujours, est, sera, feu éternel s’allumant en mesure et s’éteignant en mesure que Galilée : « Niente si muta », il ne manque pas aussi de rappeler « … le raisonnement d’Aristote, très subtil et concluant, par lequel on prouve l’incorruptibilité du ciel. »,  ou que Lavoisier : « Rien ne se perd, rien se crée » - mais, par ces mots, Lavoisier ne reprend-il pas Kant lorsqu’il écrit [38], à propos de la mécanique : On emprunte à la métaphysique générale ce principe comme fondement que, dans toutes les modifications de la nature, aucune substance ni ne se crée, ni ne se perd.

II.2.2 Introduction du point de vue local : l’équilibre, depuis Archimède jusqu’au XIXe siècle 

Dans le traité de Mécanique dont il a été fait mention en fin du paragraphe   II.1.1, il est observé, de manière assez synthétique, qu’un levier est en équilibre statique quand les deux bras sont identiques et que les poids portés en leurs extrémités sont égaux, ou lorsque les poids en ces extrémités sont inversement proportionnels aux longueurs des bras. Selon Mach, « Un autre passage du même écrit témoigne d’un pressentiment du principe des déplacements virtuels sous une forme très indéterminée. »

Après tous ceux qui se sont occupés d’optique géométrique et qui ont fondé la géométrie euclidienne, il convient bien sûr de considérer également Archimède comme un des premiers physiciens théoriciens. Le travail d’un tel physicien consiste à concevoir une ou plusieurs représentations symboliques des phénomènes qu’il observe, permettant de formaliser des relations de causes à effets, et de rendre compte avec assez d’exactitude des différentes modalités que présentent ces phénomènes, par l’introduction éventuelle d’hypothèses supplé-mentaires nouvelles, et par le seul examen des propriétés des représentations. La mathématique est évidemment l’outil privilégié de ces représentations.

A travers sa théorie du levier, les traités d’Archimède (Aequ-iponderantibus, Planorum aequilibris) [2] donnent une première formalisation de la mécanique statique et pérenne où figure ce point singulier qui est le point d’appui du levier. Comme on le savait certainement longtemps avant Aristote, l’équilibre est atteint lorsque les forces p1 et p2 exercées de part et d’autre du point d’appui sont dans un rapport inversement proportionnel à celui des longueurs l1 et l2 qui les séparent de ce point. On est ici en présence de quelques attributs et manifestations de la stabilité, de la permanence : présence d’un point singulier autour duquel se déploie une machine physique invariante dans son principe et dans son organisation, et en lequel les forces, ici leurs moments s’équilibrent.
La théorie d’Archimède, analysée par Lagrange et par le physicien allemand Ernst Mach, déjà cité, dans son livre Die Mechanik in ihrer Entwiklung  (paru en français sous le titre  La mécanique, exposé historique et critique de son développement [45]), est, sur le plan formel, implicitement construite autour de la notion de symétrie, déjà présente d’ailleurs, chez Aristote. Il y a équilibre lorsqu’il y a symétrie. Mach ne le dit pas, mais c’est bien ainsi qu’il advient dans la réalité : si la symétrie est rompue par l’inégalité des longueurs ou des poids, il convient de la rétablir en modifiant les longueurs l1 et l2 des bras (respectivement les valeur p1 et p2 des poids) si les valeurs des poids (respectivement les longueurs de bras) sont inégales. C’est ce à quoi procède Archimède de manière progressive puis synthétique pour conclure que l’équilibre est atteint lorsque les moments l1 p1  et l2 p2  sont égaux.

La problématique de l’équilibre des forces en mécanique statique sera reprise par l’école italienne avec notamment Leonardo da Vinci (1452-1519) qui, dit E. Mach, « semble avoir le premier reconnu l’importance de la notion générale de moment statique », et avec Galilée bien sûr. Cette problématique trouvera sa conclusion finale au XIXe siècle dans les traités de Möbius (1790-1868) (Der barycentrische Calcul,1827, et Lehrbuch der Statik, 1837), ouvrages écrits sous la suggestion formulée par Lazare Carnot (1753-1823) dans sa Géométrie de Position (1803). Mais auparavant il faut citer : Simon Stevin qui, dans son traité paru en 1586 (De Beghinselen der Weegconst), introduira dans un cas particulier la notion de parallélogramme des forces sous le nom de triangle des forces ; Newton qui, dans les Principia énonce (en latin) la manière dont les forces se composent,

Corollary I : A body, acted by two forces simultaneously, will describe the diagonal of a parallelogram in the same time as it would describe the sides by those forces separately.

puis l’apport de Jean Bernoulli dans la lettre à Varignon déjà citée :

En tout équilibre de forces quelconques, en quelque manière qu’elles soient appliquées, et suivant quelques directions qu’elles agissent les unes sur les autres, ou médiatement ou immédiatement, la somme des énergies affirmatives sera égale à la somme des énergies négatives prises affirmativement.

C’est encore dans cette même lettre que Jean Bernoulli introduit l’expression de  « vitesse virtuelle » qui est en fait un déplacement virtuel :

ces avancements ou reculements qui sont ce que j’appelle vitesses virtuelles qui ne sont autre chose que ce dont chaque ligne de tendance augmente ou diminue par le petit mouvement.

Dans ses Propositiones variae mechanico-dynamicae (1726) [8], se plaçant du point de vue axiomatique comme il le dit lui-même, il reprend de manière précise la construction du parallélogramme des forces, et aborde la question de l’équilibre local des forces d’un système mécanique en mouvement, considérant des forces immatérielles (Vires immateriales) qui animent les objets acquérant des vitesses virtuelles. De fait, à cette époque, force et mouvement restent liés. Sans doute Jean Bernoulli, sur la considération du parallélogramme des forces, a-t-il eu des discussions avec son second fils Daniel 21(1700-1782) : celui-ci rédige la même année 1726 un article où il entend asseoir la vérité de cette construction, moins sur des bases factuelles, physiques, que sur des bases abstraites. Cet article a été analysé, d’une part par les historiens modernes [9], sans toutefois noter l’influence d’Archimède dans la démarche de Daniel Bernoulli, et d’autre part par Lagrange qui écrit ceci :

15.          On a cherché depuis à rendre le principe de la composition des forces indépendant de la considération du mouvement, et à l’établir uniquement sur des vérités évidentes par elles-mêmes. Daniel Bernoulli a donné le premier, dans les Commentaires de l’Académie de Pétersbourg, tome Ier [publié également en 1726 !], une démonstration très ingénieuse du parallélogramme des forces, mais longue et compliquée, que d’Alembert a ensuite rendue un peu plus simple dans le premier Volume de ses Opuscules.

Cette démonstration est fondée sur ces deux principes :
I° Que, si deux forces agissent sur un même point dans des directions différentes, elles ont pour résultante un force unique qui divise en deux également l’angle compris entre les deux directions lorsque les deux forces sont égales, et qui est égale à leur somme lorsque cet angle est nul, ou à leur différence lorsque l’angle est de deux droits ;
2° que des équi-multiples des mêmes forces, ou des forces quelconques qui leur soient proportionnelles, ont une résultante équi-multiple de leur résultante ou proportionnelle à cette résultante, les angles demeurant les mêmes. [ 22 ]

Ce second principe est évident en regardant les forces comme des quantités qui peuvent s’ajouter ou se soustraire.
A l’égard du premier, on le démontre en considérant le mouvement qu’un corps, poussé par deux forces qui ne se font pas équilibre, doit prendre, et qui, étant nécessairement unique, peut être attribué à une force unique agissant sur lui dans la direction de son mouvement. Ainsi l’on peut dire que ce principe n’est pas tout à fait exempt de la considération du mouvement.

On a ensuite traduit en Analyse le fond de cette démonstration, et on lui a donné différentes formes plus ou moins simples, en considérant la résultante comme fonction des forces composantes et de l’angle compris entre leurs directions. (Voir le second tome des mélanges de la Société de Turin, les Mémoires de l’Académie des Sciences, de 1769, le sixième Volume des Opuscules de d’Alembert, etc.) Mais il faut avouer qu’en séparant ainsi le principe de la composition des forces de celui de la composition des mouvements, on lui fait perdre ses principaux avantages, l’évidence et la simplicité, et on le réduit à n’être qu’un résultat de constructions géométriques ou d’Analyse. [38]

Ce que vient de dire Lagrange sur la genèse intellectuelle du principe de la composition des forces est révélateur, conforme à ce que nous savons déjà de l’histoire de ce principe, et instructif : ce qu’on gagne en formel, on le perd en compréhension ; le nombre, la formule et le calcul masquent les mécanismes à l’œuvre dans la réalité sous-jacente. Ceux qui les conçoivent pour la première fois les devinent sans doute, mais ceux qui en font ensuite usage et les apprennent restent assez souvent aveugles, et ne forment pas leur esprit à la recherche des causes profondes 23.

Ouvrons à ce propos ici une parenthèse pour apprécier le progrès accompli depuis le XIVe siècle dans la représentation symbolique des notions introduites. Ces dernières le sont toujours d’abord de manière littéraire. On pense à un phénomène, on l’explicite, on le définit, on lui donne un nom, on le nomme de manière à être entendu par autrui. L’analyse et la réflexion sont alors celles du physicien. Dans une seconde étape, la mise en œuvre d’une représentation géométrique permet de donner au concept sa valeur opératoire : le physicien se fait mathématicien « appliqué ». Ce n’est que dans un troisième temps, à la fin d’un processus qui, parfois, a pu s’étaler sur des siècles, qu’un symbole est attribué au concept : on a vu, par exemple, qu’il a fallu attendre Huyghens pour représenter la masse par la lettre m !

On aborde alors une dernière phase, où l’on manipule les symboles, phase plus anonyme, de portée plus générale, plus algorithmique, plus abstraite, élaborée encore par le physicien théoricien, mais qui, de plus en plus rapidement, va faire appel et souvent laisser la place au mathématicien dit « pur », lequel, bien souvent, en vient à ignorer les longs et patients efforts accomplis par les générations antérieures pour poser le problème et forger les outils qui peuvent mener à sa solution.

Dans l’étude de l’équilibre des corps, Lagrange, qui connaît bien les phases précédentes, aborde la troisième en formalisant davantage que Bernoulli le fait que l’équilibre est obtenu lorsque le système satisfait aux conditions du principe du levier généralisé, plus traditionnellement désigné par principe des travaux virtuels :

Soit O un point d’un corps de masse m au repos, il est point d’équilibre si est nulle la somme des moments mF_i δui, où F_i est la force qui déplacerait O le long d’une trajectoire virtuelle ui, δu_i évaluant l’élément de déplacement virtuel de O.
Lorsque le corps, de masse m, est en mouvement, apparaît également, selon la loi adoptée par Newton, la force en O due à l’accélération, soit, dans la direction k, m dt/dt? (u_k). Le moment de cette force est (m d?/dt (u_k))δu_k auquel lui correspond l’élément différentiel de l’énergie cinétique locale ½ m ( dt/dt)u_k))². L’équilibre instantané de O est alors caractérisé par le fait qu’est nulle la somme de tous les moments des forces qui s’exercent sur O :

_{0 = S m [Fi δui  + ( (d?/dt?(uk))δuk ],
S désigne ici le symbole de sommation adopté par Lagrange.}

Il convient de souligner ici, d’une part, l’usage tout à fait conscient par Lagrange de la statique pour traiter de la dynamique :

         Cette manière de rappeler les lois de la Dynamique à la Statique  … ([39] p. 256)

et d’autre part, que ce procédé est d’emploi tout à fait général en théorie des systèmes dynamiques : en considérant le mouvement en chaque point de manière instantané, on le fige, ce qui permet de l’observer à loisir et d’en voir au mieux les propriétés.

L’intégration de l’équation précédente donne, selon les notations de Lagrange,

V + T = H où H est une constante.

(V résulte de l’intégration des forces « mortes » ou potentielles Fi – ce sont des fonctions qui, par exemple, ne dépendent que du lieu où s’exercent ces forces, T résulte de l’intégration des forces « vives »).

Ainsi, Lagrange aboutit à une équation générale de conservation de l’énergie dans le cadre de mécanique physique qui l’occupe, un fait qu’il ne commente pas. Il reste dans le cadre de la mécanique, et ne saurait le dépasser.

En cas de choc de deux « corps durs », le premier terme de la somme est nul ; de l’intégration immédiate du second résulte la constance de l’énergie cinétique dans ce cas. Lagrange retrouve ici, de manière simple mais il aura fallu un bon siècle pour dégager et assimiler les mécanismes en jeu, ce premier énoncé de conservation d’une énergie, en germe chez Galilée, mais clairement formulé par Huyghens, et obtenu par lui après des considérations d’ordre physique diverses 24  et par des constructions géométriques parfois longues. Huyghens écrit, dans son article précité relatif au choc de deux « corps durs »,

Hypothèse V : Lorsque, de deux corps durs qui se rencontrent, il arrive que, après le choc, l’un d’eux a conservé tout son mouvement, l’autre également n’aura rien perdu ou gagné en mouvement.

d’où Huyghens déduit :

Proposition XI : Dans le cas de deux corps qui se rencontrent, ce que l’on obtient en prenant la somme de leurs grandeurs multipliées par les carrés de leurs vitesses sera trouvé égal avant et après la rencontre : savoir lorsque les rapports des grandeurs et des vitesses sont donnés en nombres ou en lignes.

Alors que ces textes seront posthumes, il s’exprime ainsi dans une lettre de 1669 au Journal des Savants [35]:

La somme des produits faits de la grandeur de chaque corps dur, multipliée par le quarré de la vîtesse, est toûjours la mesme devant et après les rencontres.

Lagrange ne donne pas de nom aux quantités globales H = T + V et L = T – V ; on les appelle aujourd’hui respectivement le hamiltonien et le lagrangien du système mécanique. Une transformation dite de Legendre 25  permet de passer du lagrangien à l’hamiltonien.
Ces quantités seront envisagées sous un angle plus fonctionnel par Hamilton (1805-1865), dans ses deux publications des années 1834 et 1835 [31]. Ces fonctions représentent des énergies locales, H étant appelée aujourd’hui l’énergie totale ; L est souvent appelée l’énergie lagrangienne.

Quelle que soit la fonction représentative choisie, deux termes la composent : la force vive T = ½ m v², liée à la masse et au seul mouvement par l’intermédiaire de la vitesse, appelée aujourd’hui, rappelons-le, le moment ou l’énergie cinétique, et, dépendant des forces extérieures, V, l’énergie potentielle  (Hamilton a fini par lui donner le nom de « fonctions de forces », appellation en gestation chez Laplace ).

II.2.3 Le principe de la conservation de l’énergie

Les prémisses de la Renaissance se situent vers la fin du treizième siècle et au début du quatorzième. Les potentialités et les aptitudes à la mobil